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理由はおそらく『名前変換決定ボタン（＝OKボタン）のコードがALICE+仕様じゃないから』です。

今お使いのコードのうち、最後の方にある↓の箇所を、
>　<input type="submit" name="set" value="OK">

以下で書き換えてください↓。
>　<input type="submit" name="dream_name_set" value="OK">

違いは『name="dream_name_set"』のところです。
今お使いの『name="set"』は、ナノなど別サービスでの書き方だった気がします。

もし上記で書き換えても名前変換がうまくいかない場合は、フォーム全体を以下で書き換えてみてください↓。
>━━━━━
<form class="dream" action="./" method="post" >
<input type="text" name="DreamID[1]" value="#ミョウジ#">
<input type="text" name="DreamID[2]" value="#ナマエ#">
<input type="submit" name="dream_name_set" value="OK">
</form>
>━━━━━
* 見やすいように改行を入れています。不要なら改行は消してください。
*『DreamID[1]』『DreamID[2]』の数字部分は、必要なら適宜変更してください。1番目に作った変換設定なら『1』、2番目に作った変換設定なら『2』です。

上記はALICE+用の手書き名前変換フォームに、デザイン上必要なのであろう『class="dream"』を付加した形です。
*** ▼よくあるALICE+用手書き名前変換フォームの参考



*🟩 まとめと蛇足 🟩*
>🔷↓よくあるALICE+用手書き名前変換フォーム
>━━━━━
<form action="./" method="post" >
<input type="text" name="DreamID[1]" value="#ミョウジ#">
<input type="text" name="DreamID[2]" value="#ナマエ#">
<input type="submit" name="dream_name_set" value="OK">
</form>
>━━━━━
他サービス向けのテンプレを流用した場合、名前変換に必要な属性（name属性など）の書き方がALICE+用になっていなかったりするので要注意です。

>🔷 上記のコードと、今お使いのフォームとの違い
🔹<form class="dream" action="/■サイトID/novel/■小説機能番号/dream" method="post">部分のうち、
━━━━━
⭕️class="dream"
━━━━━
↑デザインを反映するため記述と思われるので今回は必要。

━━━━━
⭕️action="/■サイトID/novel/■小説機能番号/dream"
━━━━━
↑これでも大丈夫です（試してみたところ普通に名前変換できました）。
ただ、ALICE+では『action="./"』だけでいいです。

🔹<input type="submit" name="dream_name_set" value="OK">部分のうち、
━━━━━
❌name="set"
━━━━━
↑ALICE+では不可。名前変換自体ができません。
ALICE+用には『name="dream_name_set"』で書き換える必要ありです。

>🔷 なんで�Aの画面に飛ばされたのか？
決定ボタンのname属性が間違っていたため、
●名前変換ができず、
●決定ボタンを押すと『action="/サイトID/novel/小説機能番号/dream』のアドレスへ飛ばされてしまう
……という状態だったと思われます。